A　抵当権者
B　債務者兼設定者

①債務者Bが死亡し、Cが相続
②その後、債務者の変更登記をしないままCが弁済
③その後、司法書士へ抵当権の抹消登記をするよう依頼

上記のケースで債務者の変更登記はする必要があるのでしょうか。
又、相続による債務者の変更ではなく、弁済前に免責的債務引受契約がなされ、Cが債務者となっていた場合でちがいはあるのでしょうか。