取締役が欠けた場合に前任者の【取締役】の任期と同一とする補欠規定が置かれていなかった事例とします。
株主総会で、前任者の補欠として選任された補欠【取締役】は、前任者の任期となるのでしょうか？

テキストには補欠【監査役】の事例で、定款規定がない場合は前任者の任期とならないとあります。

監査役はチェック機関であるので監査役の任期を4年とすることでチェック機能をより果たすことができるようにするために、原則的に任期の短縮は認めない。
例外として、補欠監査役の定款規定を置き、補欠として選任されることを条件として任期の短縮をみとめる。

監査役はチェック機関であるので、任期を短くすることは認められないが、補欠規定を置いた場合は例外的に任期の短縮を認めるということは理解できます。

そこで、上記設例の補欠【取締役】の事例に関してですが、
取締役はチェック機関でないので任期を保証する必要がありません。
そもそも、取締役は任期を3か月として選任しても問題がないハズです。

取締役の補欠規定がない場合で、補欠として選任された取締役は、前任者の任期満了時に退任する申請書は却下されるのでしょうか？
株主総会で株主は前任者の任期として選任したのに、定款規定がないから任期短縮されないというのは、おかしいような気がします。
株主も、議案を提出した取締役も、補欠として選任された取締役も前任者任期として納得しているハズですし、取締役はチェック機関でもないので、任期を短くしても問題がないと思います。

登記官は、通常の2年任期でない短い任期で任期満了する旨の申請書を見たときに、この補欠取締役が選任された時の補欠として選任されたことが記載された議事録が添付されていた場合であっても、定款規定がないという理由で却下するのでしょうか？

昔の姫野先生のレジュメで、株主総会で補欠として選任された取締役であっても、補欠の定款規定がないので前任者の任期満了までとすることができないという問題がありましたが、どうなんでしょうか？